Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，直线AB的斜率为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，坐标原点O到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{42}}{7}$．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否在圆O：x²+y²=b²上存在点D，使得圆O过点D的切线与椭圆C交于点P，Q，线段PQ的中点为M，直线PQ与OM的夹角为45°？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）由题意可得A（-a，0），B（0，b），求得AB的斜率和方程，运用点到直线的距离公式解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）讨论当切线l的斜率不存在和为0，不为0，设出直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程可得（1+6k²）x²+12ktx+6t²-6=0，运用韦达定理和中点坐标公式，由两直线的夹角公式，由直线和圆相切的条件：d=r，进而得到直线方程，再由切线和OM的方程，求得切点的横坐标．

解答 解：（I）由题意可得A（-a，0），B（0，b），
k_AB=$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
直线AB的方程为y=$\frac{\sqrt{6}}{6}$x+b，
由题意可得$\frac{b}{\sqrt{1+\frac{1}{6}}}$=$\frac{\sqrt{42}}{7}$，
解得b=1，a=$\sqrt{6}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+y²=1；
（Ⅱ）当切线l的斜率不存在时，即有OM⊥l，夹角为90°，不合题意；
当直线l的斜率为0时，不符合题意；
设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程可得
（1+6k²）x²+12ktx+6t²-6=0，
可得x₁+x₂=-$\frac{12kt}{1+6{k}^{2}}$，
可得中点M（-$\frac{6kt}{1+6{k}^{2}}$，$\frac{t}{1+6{k}^{2}}$），
又直线l与圆x²+y²=1相切，可得$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即1+k²=t²，
可得OM的斜率为k'=-$\frac{1}{6k}$，
直线PQ和OM的夹角的正切为|$\frac{-\frac{1}{6k}-k}{1-\frac{1}{6k}•k}$|=$\frac{6}{5}$|k+$\frac{1}{6k}$|=1，
解得k=±$\frac{1}{2}$或±$\frac{1}{3}$，
即有t²=$\frac{5}{4}$或$\frac{10}{9}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-\frac{1}{2}x±\frac{\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$解得x=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$；由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=\frac{1}{2}x±\frac{\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$解得x=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{y=-\frac{1}{3}x±\frac{\sqrt{10}}{3}}\end{array}\right.$解得x=±$\frac{\sqrt{10}}{10}$；由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x}\\{y=\frac{1}{3}x±\frac{\sqrt{10}}{3}}\end{array}\right.$，解得x=±$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
综上可得，存在点D，且横坐标为±$\frac{\sqrt{5}}{5}$或±$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用直线的斜率公式和点到直线的距离公式，考查两直线夹角的求法，注意运用夹角公式，同时考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．