Question

20．已知偶函数f（x）的定义域为（-1，0）∪（0，1），且f（$\frac{1}{2}$）=0，当0＜x＜1时，不等式（$\frac{1}{x}$-x）f′（x）•ln（1-x²）＞2f（x）恒成立，那么不等式f（x）＜0的解集为（　　）

• A． {x|-$\frac{1}{2}$＜x＜0或$\frac{1}{2}$＜x＜1}
• B． {x|-1＜x＜-$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$＜x＜1}
• C． {x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$且x≠0}
• D． {x|-1＜x＜-$\frac{1}{2}$或0＜x＜$\frac{1}{2}$}

Answer 1

分析 由已知不等式关系构造g（x）=f（x）•ln（1-x²），求出其g（x）的单调区间及大致函数图象，根据复合函数的单调性，求出f（x）＜0的解集．

解答 解：因为f（x）是偶函数，它的图象关于纵轴对称，所以不等式f（x）＜0的解集也应是对称的，所以D排除；
当0＜x＜1时，不等式（$\frac{1}{x}$-x）f′（x）•ln（1-x²）＞2f（x）恒成立，
即f′（x）•ln（1-x²）＞$\frac{2x}{1-{x}^{2}}f（x）$恒成立，
f′（x）•ln（1-x²）-$\frac{2x}{1-{x}^{2}}f（x）$＞0恒成立，
[ln（1-x²）]′=-$\frac{2x}{1-{x}^{2}}$
设：g（x）=f（x）•ln（1-x²）
∴[f（x）•ln（1-x²）]′＞0恒成立，
g（x）在（0，1）上单调递增，
∵函数y=ln（1-x²）是偶函数，
∴g（x）=f（x）•ln（1-x²）是偶函数，
∴g（x）在（-1，0）上单调递减；
∵f（x）为偶函数，f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=0，
∴g（-$\frac{1}{2}$）=g（$\frac{1}{2}$）=g（0）=0，所以g（x）的图象如下：
∴x∈（$\frac{1}{2}，1$）时，g（x）＞0，而ln（1-x²）＜0，所以f（x）＜0成立，
而x∈（$0，\frac{1}{2}$）时，g（x）＜0，而ln（1-x²）＜0，所以f（x）＞0成立；
又由函数f（x）的图象对称性可知，
不等式f（x）＜0的解集为：$\{x丨-1＜x＜-\frac{1}{2}或\frac{1}{2}＜x＜1\}$．
故答案选：B．

点评 本题考查根据已知条件构造辅助函数及利用导数求复合函数的单调区间，属于中档题．