Question

9．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，且经过点$P（1，\frac{3}{2}）$，两个焦点分别为F₁，F₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF₂B的内切圆半径为$\frac{{3\sqrt{2}}}{7}$，求以F₂为圆心且与直线l相切的圆的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，且经过点$P（1，\frac{3}{2}）$，求出a，b，c，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=ty-1，代入椭圆方程得（4+3t²）y²-6ty-9=0，由此利用韦达定理、根的判别式、弦长公式、直线与圆相切，结合已知条件能求出圆的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，且经过点$P（1，\frac{3}{2}）$，两个焦点分别为F₁，F₂．
∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a=2c，∴a²=4c²，b²=3c²，
将点$P（1，\frac{3}{2}）$的坐标代入椭圆方程得c²=1，
故所求椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（6分）
（Ⅱ）设直线l的方程为x=ty-1，代入椭圆方程得（4+3t²）y²-6ty-9=0，
判别式大于0恒成立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），△AF₂B的内切圆半径为r₀，
则有${y_1}+{y_2}=\frac{6t}{{4+3{t^2}}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-9}{{4+3{t^2}}}$，${r_0}=\frac{{3\sqrt{2}}}{7}$
∴${S_{△A{F_2}B}}={S_{△A{F_1}{F_2}}}+{S_{△B{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$\frac{{12\sqrt{{t^2}+1}}}{{4+3{t^2}}}$，
而${S_{△A{F_2}B}}=\frac{1}{2}|AB|{r_0}+\frac{1}{2}|B{F_2}|{r_0}+\frac{1}{2}|A{F_2}|{r_0}=\frac{1}{2}{r_0}（|AB|+|B{F_2}|+|A{F_2}|）$
=$\frac{1}{2}{r_0}（|A{F_1}|+|B{F_1}|+|B{F_2}|+|A{F_2}|）=\frac{1}{2}{r_0}•4a$
=$\frac{1}{2}×8×\frac{{3\sqrt{2}}}{7}=\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$，
∴$\frac{{12\sqrt{{t^2}+1}}}{{4+3{t^2}}}=\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$，解得t²=1，
∵所求圆与直线l相切，∴半径$r=\frac{2}{{\sqrt{{t^2}+1}}}$=$\sqrt{2}$，
∴所求圆的方程为（x-1）²+y²=2．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程、圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、弦长公式、直线与圆相切的性质的合理运用．