Question

4．求与椭圆$\frac{{x}^{2}}{121}+\frac{{y}^{2}}{146}$=1有共同焦点，且过点（0，3）的双曲线的方程，并求出该双曲线的实轴长、焦距、离心率．

Answer 1

分析 求得椭圆的焦点，设所求双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），由题意可得a=3，求得b=4，可得实轴长为2a，焦距为2c，运用离心率公式计算即可得到所求．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{121}+\frac{{y}^{2}}{146}$=1的焦点为（0，±5），
可设所求双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
由题意可得a²+b²=25，
由双曲线过点（0，3），可得a=3，b=4，
可得双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1，
可得实轴长为2a=6，焦距为10，
离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用椭圆的焦点，考查双曲线的实轴长、焦距和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．