Question

14．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C．是否存在实数k，使得△ABC的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2，求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）依题意知BC⊥AC，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（0，y₀），则k_BC=$\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}}$=1，${k}_{AC}=\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}}$=-1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（0，y₀），则k_BC=$\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}}$=1，${k}_{AC}=\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}}$=-1，由此能求出存在满足条件的k值．

解答 解：（Ⅰ）设焦点F（c，0），∵椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2c²，
∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2，
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=1，∵a²=b²+c²，∴a²=4，b²=2，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（Ⅱ）依题意知BC⊥AC，且∠BCO=∠ACO=45°，
于是直线BC的斜率k_BC=1，直线AC的斜率k_AC=-1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（0，y₀），
则k_BC=$\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}}$=1，${k}_{AC}=\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}}$=-1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（0，y₀），
则k_BC=$\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}}$=1，${k}_{AC}=\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}}$=-1，
联立，得x₁+x₂=k（x₂-x₁），①
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kx-2=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，②
将①式平方，并②式代入，得4k²+1=2，或k²=0，
∴存在满足条件的k值，分别为k=$±\frac{1}{2}$或k=0．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．