Question

9．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M是椭圆上任意一点，点A的坐标为（2，1），求|MF₁|+|MA|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 连结MF₂，作过A、F₂的直线交椭圆于M₁、M₂两点．根据椭圆的定义算出|MF₁|+|MA|=10-|MF₂|+|MA|=10+（|MA|-|MF₂|），由平面几何知识得-|AF₂|≤|MA|-|MF₂|≤|AF₂|，再利用两点间的距离公式加以计算，可得|MF₁|+|MA|的最值．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的a=5，b=4，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=3，
由椭圆的定义可得，|MF₁|+|MF₂|=2a=10，
即|MF₁|=10-|MF₂|，
则|MF₁|+|MA|=10-|MF₂|+|MA|=10+（|MA|-|MF₂|），
当点M位于M₁时，|MA|-|MF₂|的差最小，
其值为-|AF₂|=-$\sqrt{（3-2）^{2}+（0-1）^{2}}$=-$\sqrt{2}$，
此时|MF₁|+|MA|也得到最小值，其值为10-$\sqrt{2}$；
当点M位于M₂时，|MA|-|MF₂|的差最大，其值为|AF₂|=$\sqrt{2}$，
此时|MF₁|+|MA|也得到最大值，其值为10+$\sqrt{2}$．

点评 本题给出椭圆的右焦点，椭圆内一个定点，求椭圆上动点M到定点、焦点两点的距离和的最值．着重考查了两点间的距离公式、椭圆的定义与标准方程等知识，属于中档题．