Question

19．设函数f（x）=ln2x+ax²+bx-ln2，（a，b∈R）
（1）曲线y=f（x）上一点A（1，2），若在A处的切线与直线2x-y-10=0平行，求a，b的值；
（2）设函数y=f（x）的导函数为y=f'（x），若$f'（2）=\frac{1}{2}$，且函数y=f（x）在（0，+∞）是单调函数，求证：e^a＞1-2a．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由题意可得f（1）=2，f′（1）=2，解方程可得a，b；
（2）求出f（x）的导数，由条件可得a，b的关系式，讨论a=0，及a≠0，构造函数g（x）=2ax²-4ax+1，考虑对称轴和区间的关系，求出a的范围，运用导数大于0恒成立，即可得证．

解答 解：（1）f（x）=ln2x+ax²+bx-ln2的导数为$f'（x）=\frac{1}{x}+2ax+b$，
函数y=f（x）在点A（1，2）处的切线与直线2x-y-10=0平行，
则$\left\{\begin{array}{l}f（1）=ln2+a+b-ln2=2\\ f'（1）=1+2a+b=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=3\end{array}\right.$，
所以a=-1，b=3；
（2）证明：由$f'（2）=\frac{1}{2}+2a×2+b=\frac{1}{2}$，
所以b=-4a$f'（x）=\frac{1}{x}+2ax+b=\frac{{2a{x^2}-4ax+1}}{x}=\frac{{2a{{（{x-1}）}^2}+1-2a}}{x}$，
因为x∈（0，+∞），
当a=0时，$f'（x）=\frac{1}{x}＞0$在（0，+∞）恒成立，符合题意，
当a≠0时，令g（x）=2ax²-4ax+1，
因为g（0）=1＞0且g（x）的对称轴为x=1，
要函数y=f（x）在（0，+∞）是单调函数，
则$\left\{\begin{array}{l}2a＞0\\ 1-2a≥0\end{array}\right.$，解得$0＜a≤\frac{1}{2}$，
设ϕ（a）=e^a+2a-1，则ϕ'（a）=e^a+2＞0在$（{0，\frac{1}{2}}]$上恒成立，
所以ϕ（a）＞ϕ（0）=0，
即e^a＞1-2a．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查分类讨论的思想和函数恒成立思想，注意运用构造函数，考查化简后整理的运算能力，属于中档题．