Question

6．倾斜角为60°的一束平行光线，将一个半径为$\sqrt{3}$的球投影在水平地面上，形成一个椭圆，若以该椭圆的中心为原点，长轴所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若经过原点的直线交椭圆于A、B两点，且C（-4，0），求$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，如图，椭圆的长半轴长是DE，过D向AE做垂线，垂足是C，得到一个直角三角形，得到DE的长，求得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设A（m，n），可得B（-m，-n），求得向量的坐标和向量的数量积的坐标表示，运用椭圆的范围，可得最值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
在照射过程中，椭圆的短半轴长b是圆的半径R，
可得b=$\sqrt{3}$，
椭圆的长轴长2a是DE，过D向AE做垂线，垂足是C，
由题意得：DC=2R=2$\sqrt{3}$，∠CED=60°，
可得：DE=$\frac{DC}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4．
即2a=4，即a=2，
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设A（m，n），可得B（-m，-n），
即有$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=（m+4，n）•（-m+4，-n）
=16-m²-n²，
m²+n²表示原点与点（m，n）的距离的平方，
由椭圆的范围可得原点与（m，n）的距离的最小值为$\sqrt{3}$，最大值为2，
即有$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的最小值为16-4=12，最大值为16-3=13．
则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的取值范围是[12，13]．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用投影的特点，考查向量的数量积的坐标表示，注意运用椭圆的范围，考查化简整理的运算能力，属于中档题．