Question

16．已知向量$\vec a=（{2016，k}），\vec b=（{k-2，2016}）$的夹角为钝角，则函数f（k）=k²+2k+2016的最小值为（　　）

• A． 2013
• B． 2014
• C． 2015
• D． 2016

Answer 1

分析 由向量的夹角为钝角的条件：$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，运用向量的数量积的坐标表示和共线的坐标表示，解不等式可得k的范围，再由二次韩寒说的最值的求法，配方即可得到所求最小值．

解答 解：向量$\vec a=（{2016，k}），\vec b=（{k-2，2016}）$的夹角为钝角，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，
即有2016（k-2）+2016k＜0，且2016²≠k（k-2），
解得k＜1且k≠1-$\sqrt{1+201{6}^{2}}$，
即有f（k）=k²+2k+2016=（k+1）²+2015，
当k=-1时，f（k）取得最小值2015．
故选：C．

点评 本题考查二次函数的最值的求法，注意运用向量夹角为钝角的条件：数量积小于0，且不共线，考查化简整理的运算能力，属于中档题．