Question

15．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）-f（x）＞e^x，则使得f（x）＞xe^x+2e^x成立的x的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （0，1）
• D． （-∞，+∞）

Answer 1

分析 根据f′（x）-f（x）＞e^x，构造g（x）=e^-xf（x）-x，求导，求出函数的单调增函数，只需将求g（x）的最小值大于2，即可求得x的取值范围．

解答 解：构造辅助函数g（x）=e^-xf（x）-x，g′（x）=-e^-xf（x）+f′（x）e^-x-1=e^-x[f′（x）-f（x）]-1，
由f′（x）-f（x）＞e^x，g′（x）＞0恒成立．
∴g（x）在定义域上是单调递增函数，
要使f（x）＞xe^x+2e^x，即：e^-xf（x）-x＞2，
只需将g（x）的最小值大于2，
∵g（0）=2，g（x）在定义域上是单调递增函数；
故x＞0，即x的取值范围是（0，+∞）．
故答案选：A

点评 本题主要考察通过构造辅助函数求函数的单调性，并根据单调性判断函数的取值，属于中档题．