Question

12．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的四个顶点构成一个面积为$2\sqrt{3}$的四边形，该四边形的一个内角为60°．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆E相交于A，B两个不同的点，线段AB的中点为C，O为坐标原点，若△OAB面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求|AB|•|OC|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用菱形的面积公式和正切函数的定义，解方程可得a，b，即可得到所求椭圆方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），讨论（1）当l的斜率不存在时，（2）当l的斜率存在时，
设直线l：y=kx+m，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，求得三角形的面积，运用基本不等式可得最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}b\\ 2×（\frac{1}{2}×2a×b）=2\sqrt{3}\end{array}\right.$，
解得$a=\sqrt{3}，b=1$，
所以椭圆E的方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）当l的斜率不存在时，A，B两点关于x轴对称，
由△OAB面积为$\frac{1}{2}$|AB|•|OC|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得$|AB|•|OC|=\sqrt{3}$；
（2）当l的斜率存在时，
设直线l：y=kx+m，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1\end{array}\right.$消去y，
得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
由△=12（3k²-m²+1）＞0得m²＜3k²+1，
则${x_1}+{x_2}=\frac{-6km}{{3{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-3}}{{3{k^2}+1}}$，（*）$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{2\sqrt{3}\sqrt{3{k^2}-{m^2}+1}}}{{3{k^2}+1}}$，
原点O到直线l的距离$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
所以△OAB的面积$S=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{2\sqrt{3}\sqrt{3{k^2}-{m^2}+1}}}{{3{k^2}+1}}•\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
整理得4m²（3k²+1-m²）=（3k²+1）²，即（3k²+1）²-4m²（3k²+1）+（2m²）²=0
所以（3k²+1-2m²）²=0，即3k²+1=2m²，满足△=12（3k²-m²+1）＞0，
结合（*）得${x_1}+{x_2}=\frac{-3k}{m}$，
${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2m=\frac{{-3{k^2}}}{m}+2m=\frac{{-（2{m^2}-1）}}{m}+2m=\frac{1}{m}$，
则C$（-\frac{3k}{2m}，\frac{1}{2m}）$，所以$|OC{|^2}=\frac{{9{k^2}+1}}{{4{m^2}}}=\frac{{3（2{m^2}-1）+1}}{{4{m^2}}}=\frac{3}{2}-\frac{1}{{2{m^2}}}$，$|AB{|^2}=12（1+{k^2}）•\frac{{3{k^2}-{m^2}+1}}{{{{（3{k^2}+1）}^2}}}=12（1+{k^2}）•\frac{{2{m^2}-{m^2}}}{{{{（2{m^2}）}^2}}}=（3+3{k^2}）\frac{1}{m^2}=\frac{{2{m^2}+2}}{m^2}=2（1+\frac{1}{m^2}）$，
所以|AB|²•|OC|²=（3-$\frac{1}{{m}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{m}^{2}}$）≤（$\frac{3-\frac{1}{{m}^{2}}+1+\frac{1}{{m}^{2}}}{2}$）²=4，
当且仅当$（3-\frac{1}{m^2}）=（1+\frac{1}{m^2}）$，即m=±1时，等号成立，
故|AB|•|OC|≤2，综上|AB|•|OC|的最大值为2．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用菱形的面积公式，考查最值的求法，注意运用直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，结合基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．