Question

17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，$\frac{π}{3}$），则cos（2$α+\frac{5π}{6}$）=（　　）

• A． $±\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• C． -$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由图象可得A值和周期，由周期公式可得ω，代入点（$\frac{π}{3}$，-3）可得φ值，可得解析式，再由f（α）=1和同角三角函数基本关系可得．

解答 解：由图象可得A=3，$\frac{2π}{ω}$=4（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$），解得ω=2，
故f（x）=3sin（2x+φ），代入点（$\frac{π}{3}$，-3）可得3sin（$\frac{2π}{3}$+φ）=-3，
故sin（$\frac{2π}{3}$+φ）=-1，$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，∴φ=2kπ-$\frac{7π}{6}$，k∈Z
结合0＜φ＜π可得当k=1时，φ=$\frac{5π}{6}$，故f（x）=3sin（2x+$\frac{5π}{6}$），
∵f（α）=3sin（2α+$\frac{5π}{6}$）=1，∴sin（2α+$\frac{5π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，
∵α∈（0，$\frac{π}{3}$），∴2α+$\frac{5π}{6}$∈（$\frac{5π}{6}$，$\frac{3π}{2}$），
∴cos（2$α+\frac{5π}{6}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（2α+\frac{5π}{6}）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查正弦函数的图象，涉及整体法和同角三角函数基本关系，属中档题．