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已知函数f(x)=x3-x2+x+b,其中a,bR.

(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式.

(2)a>0,讨论函数f(x)的单调性.

 

(1) f(x)=x3-2x2+x+4

(2) 0<a<1,>1,函数f(x)在区间(-,1)(,+)上为增函数,在区间(1,)上为减函数;

a=1,=1,函数f(x)在区间(-,+)上为增函数;

a>1,<1,函数f(x)在区间(-,)(1,+)上为增函数,在区间(,1)上为减函数.

【解析】(1)f'(x)=ax2-(a+1)x+1.

由导数的几何意义得f'(2)=5,于是a=3.

由切点P(2,f(2))在直线y=5x-4上可知2+b=6,解得b=4.

所以函数f(x)的解析式为f(x)=x3-2x2+x+4.

(2)f'(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-)(x-1).

0<a<1,>1,函数f(x)在区间(-,1)(,+)上为增函数,在区间(1,)上为减函数;

a=1,=1,函数f(x)在区间(-,+)上为增函数;

a>1,<1,函数f(x)在区间(-,)(1,+)上为增函数,在区间(,1)上为减函数.

 

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(A)2 (B)

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给出如下五个结论:

①存在α∈(0,),使sinα+cosα=;

②存在区间(a,b),使y=cosx为减函数而sinx<0;

y=tanx在其定义域内为增函数;

y=cos2x+sin(-x)既有最大值和最小值,又是偶函数;

y=sin|2x+|的最小正周期为π.

其中正确结论的序号是   .

 

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