Question

6．已知函数f（x）=mx²-mx-1．
（1）若不等式mx²-mx-1＜0对m∈[1，2]恒成立，求实数x的取值范围．
（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令g（m）=mx²-mx-1=（x²-x）m-1，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＜0}\\{g（2）＜0}\end{array}\right.$，解此关于x的不等式组即可求得x的范围；（2）令h（x）=f（x）-5+m=mx²-mx-6+m，分三种情况进行讨论：当m=0时易判断；当m＞0时，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=-6+m＜0}\\{f（3）=9m-3m-6+m＜0}\end{array}\right.$即可；当m＜0时，数形结合可得f（1）＜0，三者结合可求得m的取值范围．

解答 解：（1）令g（m）=mx²-mx-1=（x²-x）m-1，
若对m∈[1，2]恒成立，则只需$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＜0}\\{g（2）＜0}\end{array}\right.$即可，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-1＜0}\\{2{x}^{2}-2x-1＜0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
（2）h（x）=f（x）-5+m=mx²-mx-6+m
①当m=0时，f（x）=-6＜0显然恒成立；
②当m＞0时，若对?x∈[1，3]不等式恒成立，只需$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=-6+m＜0}\\{f（3）=9m-3m-6+m＜0}\end{array}\right.$即可，无解；
③当m＜0时，函数f（x）的图象开口向下，对称轴为x=$\frac{1}{2}$，若对?x∈[1，3]不等式恒成立，结合函数图象知只需f（1）＜0即可，解得m∈R，所以m＜0，
综上所述，实数m的取值范围是{m|m≤0}．

点评 本题考查函数恒成立及二次函数的性质，考查分类讨论思想、数形结合思想，解决恒成立问题的常用方法是转化为函数最值．