Question

20. 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南

（　＝arccos）方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

Answer 1

20.解法一：设在时刻t（h）台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60（km）.

　若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则OQ≤10t+60.

　由余弦定理知OQ²＝PQ²＋PO²－2·PQ·POcosOPQ.

　由于    PO=300，PQ=20t，

　　　　cosOPQ＝cos（－45°）

                     　 ＝coscos45°+sinsin45°

                        ＝×+×

                 　　＝，

　故       OQ²=（20t）²+300²－2×20t×300×

                 ＝20²t²－9600t+300².

 

　因此    20²t²－9600t+300²≤（10t+60）²，

　即              t²－36t+288≤0，

　解得           　12≤t≤24.

　答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

　

解法二：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.

　在时刻t（h）台风中心的坐标为

                    

　此时台风侵袭的区域是（x－）²+（y－）²≤[r（t）]²，

　其中r（t）＝10t+60.

若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有（0－）²+（0－）²≤（10t+60）²，

 

　即       （300×－20×t）²+（－300×＋20×t）²≤（10t+60）²，

　

即       t²－36t+288≤0，解得    12≤t≤24.

答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.