Question

如图，面SAB⊥矩形ABCD所在的平面，△SAB是正三角形，F、E分别是SD，BC的中点．
（1）求证：EF∥平面SAB；
（2）求证：EF⊥AD．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理、线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用面面、线面垂直的性质和判定定理即可证明．
解答：证明：（1）如图所示，取SA的中点G，连接FG、BG．
又∵F是SD的中点，∴FG∥AD，且FG=，
∵E点是矩形ABCD的边BC的中点，∴BE∥AD，，
∴，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG．
∵EF?平面SAB，BG?平面SBA．
∴EF∥平面SAB．
（2）∵平面SAB⊥平面ABCD，交线为AB，且AD⊥AB，
∴AD⊥平面SAB，
∴AD⊥BG，
由（1）可知：EF∥BG，
∴EF⊥AD．
点评：熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理、线面与面面平行和垂直的判定定理及性质定理是解题的关键．