Question

1．如图，在多面体ABCA₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁是正方形，CA⊥平面ABB₁A₁，AC=AB=1，B₁C₁∥BC，BC=2B₁C₁．
（Ⅰ）求异面直线CA₁与BC₁所成角的正切值；
（Ⅱ）求证：AB₁∥平面A₁C₁C；
（Ⅲ）若点M是AB上的一个动点，试确定点M的位置，使得二面角C-A₁C₁-M的余弦值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （I）以A为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的夹角即可得出答案；
（II）求出平面A₁C₁C的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$，通过证明$\overrightarrow{A{B}_{1}}⊥\overrightarrow{{n}_{1}}$得出结论；
（III）设M（0，λ，0），求出平面A₁C₁M的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$，令|cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞|=$\frac{1}{3}$求出λ即可确定M的位置．

解答 解：（I）以A为原点，以AC，AB，AA₁为坐标轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示：
则B（0，1，0），C（1，0，0），A₁（0，0，1），B₁（0，1，1），C₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
∴$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，1），
∴cos＜$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{C{A}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{C{A}_{1}}||\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
设异面直线CA₁与BC₁所成角为θ，则cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴sinθ=$\frac{\sqrt{33}}{6}$，tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\sqrt{11}$．
∴异面直线CA₁与BC₁所成角的正切值为$\sqrt{11}$．
（II）证明：$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），
设平面A₁C₁C的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{-x+z=0}\\{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，-1，1），
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{A{B}_{1}}$=0，
又AB₁?平面A₁C₁C，
∴AB₁∥平面A₁C₁C．
（III）设M（0，λ，0）（0≤λ≤1），则$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（0，λ，-1），
设平面MA₁C₁的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}M}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{λy-z=0}\end{array}\right.$，令y=1得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（-1，1，λ），
∴|cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$|=|$\frac{λ-2}{\sqrt{3}×\sqrt{{λ}^{2}+2}}$|=$\frac{1}{3}$，
解得λ=1或λ=5（舍）．
∴当M位于B点时，二面角C-A₁C₁-M的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了空间向量在立体几何中的应用，选择合适的坐标原点，建立坐标系是解题关键，属于中档题．