【题目】已知函数,
为自然对数的底数.
(1)讨论的单调性;
(2)若函数的图象与直线
交于
两点,线段
中点的横坐标为
,证明:
为函数
的导函数).
【答案】(1) 当时,
在
上单调递减,在
上单调递增,当
时,
在
上单调递增,当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)借助题设条件运用导数与函数的单调性的关系与分类整合思想求解;(2)依据题设构造函数运用导数知识推证.
试题解析:
(1)由题可知,. ①当
时,
令,则
,令
,则
.
②当时,
.③当
时,令
,则
,令
,则
,综上,①当
时,
在
上单调递减,在
上单调递增;②当
时,
在
上单调递增;③当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)
,
,当
时,
在
上单调递增,与
轴不可能有两个交点,故
.
当时,令
,则
;令
,则
.
故在
上单调递增,在
上单调递减.不妨设
,
且.要证
,需证
,
即证,
又,所以只需证
.
即证:当时,
.
设,
则在
上单调递减,
又,故
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知椭圆的长轴长是短轴长的
倍,右焦点为
,点
分别是该椭圆的上、下顶点,点
是直线
上的一个动点(与
轴交点除外),直线
交椭圆于另一点
,记直线
,
的斜率分别为
(1)当直线过点
时,求
的值;
(2)求的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合与
的关系,请用相关系数加以说明;
(Ⅱ)建立关于
的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
参考数据: ,
,
,
.
参考公式:相关系数,
回归方程,
,
本题中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: ,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在三棱锥中,
和
是边长为
的等边三角形,
,
是
中点,
是
中点.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值的大小;
(Ⅲ)在棱上是否存在一点
,使得
的余弦值为
?若存在,指出点
在
上的位置;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图1在△
中,
,
、
分别为线段
、
的中点,
,
.以
为折痕,将
△
折起到图2的位置,使平面
⊥平面
,连接
,
,设
是线段
上的动点,满足
.
(1)证明:平面⊥平面
;
(2)若二面角的大小为
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某单位从一所学校招收某类特殊人才,对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试,其测试结果如下表:
例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是4人,由于部分数据丢失,只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为.
(1)求、
的值;
(2)从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位,求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率.
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【题目】已知曲线
若,过点
的直线
交曲线
于
两点,且
,求直线
的方程;
若曲线表示圆,且直线
与圆
交于
两点,是否存在实数
,使得以
为直径的圆过原点,若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.
(Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;
(Ⅱ)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
(ⅰ)用所给编号列出所有可能的结果;
(ⅱ)设为事件“编号为
的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件
发生的概率.
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