【题目】在三棱锥中,
和
是边长为
的等边三角形,
,
是
中点,
是
中点.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值的大小;
(Ⅲ)在棱上是否存在一点
,使得
的余弦值为
?若存在,指出点
在
上的位置;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
在棱
上靠近点
的三等分点处.
【解析】试题分析:(Ⅰ)连接,
,
中,
为
中点,易得
,同理可得:
,进而利用面面垂直的判定定理,即可证明平面
平面
;
(Ⅱ)以为原点,以
方向分别为
,
,
轴正方向建立空间直角坐标系,求得平面
的一个法向量为
,利用向量的夹角公式,即可求解线面角的正弦值;
(Ⅲ)设得
再求得平面
的一个法向量为
和面
的一个法向量为
,利用向量的夹角公式,求解
的值,从而确定点的位置.
试题解析:(Ⅰ)证明:连接,
,
中,
为
中点,易得
且
.
同理可得: ,
,又∵
,∴
,
∴,又∵
,∴
平面
,又∵
平面
,
∴平面平面
.
(Ⅱ)以为原点,以
方向分别为
,
,
轴正方向建立空间直角坐标系,
得,
,
,
,
,
设平面的一个法向量为
,则有
,
,
,设直线
与面
所成的角为
,
则.
(Ⅲ)设在棱上存在点
,设
设平面的一个法向量为
则有,且
,取
,
,
,
∴,
∵平面
,
∴设面的一个法向量为
.
设面与面
所成二面角为
,
,
解得: 或
(舍),∴
.
所以存在点且当
在棱
上靠近点
的三等分点处,满足题意.
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【题目】已知椭圆:
(
)的两个焦点为
,
,离心率为
,点
,
在椭圆上,
在线段
上,且
的周长等于
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过圆:
上任意一点
作椭圆
的两条切线
和
与圆
交于点
,
,求
面积的最大值.
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【题目】A在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
,(
为参数),直线
的方程为
以
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线和直线
的极坐标方程;
(2)若直线与曲线
交于
两点,求
已知不等式
的解集为
.
(1)求的值;
(2)若,求证:
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【题目】某市2010年至2016年新开楼盘的平均销售价格(单位:千元/平米)的统计数据如下表:
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
年份代号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
销售价格y | 3 | 3.4 | 3.7 | 4.5 | 4.9 | 5.3 | 6 |
(1)求关于
的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2010年至2016年该市新开楼盘平均销售价格的变化情况,并预测该市2018年新开楼盘的平均销售价格.
附:参考数据及公式: ,
,
.
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【题目】设函数,其中
,若
是
的三条边长,则下列结论中正确的是( )
①存在,使
、
、
不能构成一个三角形的三条边
②对一切,都有
③若为钝角三角形,则存在
,使
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
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【题目】在极坐标系中,圆的极坐标方程为
,若以极点
为原点,极轴所在的直线为
轴建立平面直角坐标系
(1)求圆的参数方程;
(2)在直角坐标系中,点是圆
上的动点,试求
的最大值,并求出此时点
的直角坐标;
(3)已知为参数),曲线
为参数),若版曲线
上各点恒坐标压缩为原来的
倍,纵坐标压缩为原来的
倍,得到曲线
,设点
是曲线
上的一个动点,求它到直线
距离的最小值.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,椭圆
和抛物线
交于
两点,且直线
恰好通过椭圆
的右焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)经过椭圆右焦点的直线
和椭圆
交于
两点,点
在椭圆上,且
,
其中为坐标原点,求直线
的斜率.
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【题目】下面给出了四个类比推理:
(1)由“若则
”类比推出“若
为三个向量则
”;
(2)“a,b为实数,则a=b=0”类比推出“
为复数,若
”
(3)“在平面内,三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中,四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”
(4)“在平面内,过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中,过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”.
上述四个推理中,结论正确的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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