【题目】在极坐标系中,圆的极坐标方程为
,若以极点
为原点,极轴所在的直线为
轴建立平面直角坐标系
(1)求圆的参数方程;
(2)在直角坐标系中,点是圆
上的动点,试求
的最大值,并求出此时点
的直角坐标;
(3)已知为参数),曲线
为参数),若版曲线
上各点恒坐标压缩为原来的
倍,纵坐标压缩为原来的
倍,得到曲线
,设点
是曲线
上的一个动点,求它到直线
距离的最小值.
【答案】(1)为参数);(2)最大值为
时,点
的直角坐标为
;(3)
.
【解析】试题分析:
(1)圆的普通方程为,所以所求圆
的参数方程为
为参数).
(2) 设,代入
整理可知则关于的方程必有实数根,
所以,解得
,即
的最大值为11,
故的最大值为
时,点
的直角坐标为
.
(3)点的坐标是
,
,
当时,
取得最小值,
.
试题解析:(1)因为,所以
,
即为圆
的普通方程,
所以所求圆的参数方程为
为参数).
(2)设,得
代入
整理得,则关于
的方程必有实数根,
所以,化简得
,
解得,即
的最大值为11,
将代入方程,得
,解得
,代入
得
,
故的最大值为
时,点
的直角坐标为
.
(3)的参数方程为
为参数),故点
的坐标是
,
从而点到直线
的距离是
,
由此当时,
取得最小值,且最小值为
.
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【题目】在三棱锥中,
和
是边长为
的等边三角形,
,
是
中点,
是
中点.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值的大小;
(Ⅲ)在棱上是否存在一点
,使得
的余弦值为
?若存在,指出点
在
上的位置;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某单位从一所学校招收某类特殊人才,对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试,其测试结果如下表:
例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是4人,由于部分数据丢失,只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为.
(1)求、
的值;
(2)从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位,求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为
元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表:
某机构为了研究某一品牌普通座以下私家车的投保情况,随机抽取了
辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:
类型 | ||||||
数量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以这辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率,完成下列问题:
(Ⅰ)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定, ,记
为某同学家里的一辆该品牌车在第四年续保时的费用,求
的分布列与数学期望;(数学期望值保留到个位数字)
(Ⅱ)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车,假设购进一辆事故车亏损元,一辆非事故车盈利
元:
①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这三辆车中至少有一辆事故车的概率;
②若该销售商一次购进辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求他获得利润的期望值.
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【题目】已知函数
(Ⅰ)讨论函数的单调区间与极值;
(Ⅱ)若且
恒成立,求
的最大值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,且取得最大值时,设
,且函数
有两个零点
,求实数
的取值范围,并证明:
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