Question

【题目】设函数．

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）若当时， ，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】试题分析: (1)由已知条件求出,由点斜式求出切线方程; (2)构造函数 ,由 ,通过转化为证明 在 上为增函数,求出的范围.

试题解析:（Ⅰ）当时， ，

则，所以，

又，所以曲线在处的切线方程为.，即.

（Ⅱ）由得，而，

所以，设函数，

于是问题 转化为，对任意的恒成立.

注意到，所以若，则单调递增，

从而.而，

所以等价于，

分离参数得，

由均值不等式可得，

当且仅当时等号成立，于是.

当时，设，

因为，又抛物线开口向上，

所以函数有两个零点，

设两个零点为，则，

于是当时， ，故，所以单调递减，故，这与题设矛盾，不合题意.

综上， 的取值范围是.

点睛:本题主要考查了导数的几何意义及恒成立问题转化为求函数的最小值,属于中档题.在(1)中,导数的几何意义是函数在某一点处切线的斜率,所以本题求切线方程是容易题;在(2)中,注意等价转化,转化为求函数在上为增函数,分离出参数,求 的最大值.得到的范围.