【题目】已知抛物线,
是焦点,直线
是经过点
的任意直线.
(Ⅰ)若直线与抛物线交于
、
两点,且
(
是坐标原点,
是垂足),求动点
的轨迹方程;
(Ⅱ)若、
两点在抛物线
上,且满足
,求证:直线
必过定点,并求出定点的坐标.
【答案】所求动点M的轨迹方程是 (
).
直线CD的方程可化为. 直线CD恒过定点,且定点坐标为(2,0).
【解析】(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分.
解 (1) 设动点M的坐标为. …………………1分
∵抛物线的焦点是
,直线l恒过点F,且与抛物线交于两点A、B,
又,
∴. …………………3分
∴,化简,得
. …………………5分
又当M与原点重合时,直线l与x轴重合,故.
∴所求动点M的轨迹方程是 (
).
(2) 设点C、D的坐标为、
. …………………………6分
∵C、D在抛物线上,
∴,
,即
,
.
又,
∴. ………8分
∵点C、D的坐标为、
,
∴直线CD的一个法向量是,可得直线CD的方程为:
,化简,得
,进一步用
,有
.
又抛物线上任两点的纵坐标都不相等,即
.
∴直线CD的方程可化为. ………………………10分
∴直线CD恒过定点,且定点坐标为(2,0). ………………………12分
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某科研小组研究发现:一棵水蜜桃树的产量(单位:百千克)与肥料费用
(单位:百元)满足如下关系:
,且投入的肥料费用不超过5百元.此外,还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)
百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克),且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为
(单位:百元).
(1)求利润函数的函数关系式,并写出定义域;
(2)当投入的肥料费用为多少时,该水蜜桃树获得的利润最大?最大利润是多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人)
高校 | 相关人数 | 抽取人数 |
A | 18 | |
B | 36 | 2 |
C | 54 |
(Ⅰ)求,
;
(Ⅱ)若从高校抽取的人中选2人作专题发言,求这二人都来自高校
的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《中国好声音(The Voice of China)》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目,于2012年7月13日正式在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手,当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身,则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中,6位选手演唱完后,四位导师为其转身的情况如下表所示:
现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况.
(1)求选出的两人导师为其转身的人数和为4的概率;
(2)记选出的2人导师为其转身的人数之和为,求
的分布列及数学期望
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线,
是焦点,直线
是经过点
的任意直线.
(Ⅰ)若直线与抛物线交于
、
两点,且
(
是坐标原点,
是垂足),求动点
的轨迹方程;
(Ⅱ)若、
两点在抛物线
上,且满足
,求证:直线
必过定点,并求出定点的坐标.
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