【题目】已知函数
(Ⅰ)讨论函数的单调区间与极值;
(Ⅱ)若且
恒成立,求
的最大值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,且取得最大值时,设
,且函数
有两个零点
,求实数
的取值范围,并证明:
【答案】(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ)当时,
最大为
;(Ⅲ)证明过程见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)求导数,分类讨论,利用导数的正负,讨论函数f(x)的单调区间与极值;(Ⅱ)当b>0时,由(Ⅰ)得,即可求
的最大值;(Ⅲ)
,构造函数,得出当x→0(x>0)时,
F(x)→-∞;x→+∞时,F(x)→-m,再用分析法进行证明即可.
试题解析:(Ⅰ)
当时,
恒成立,函数
的单调增区间为
,无极值;
当时,
时,
时,,函数
的单调减区间为
,增区间为
,有极小值
;
(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)得
,
即当时,
最大为
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当取最大值1时,
,记
,
,不妨设
,由题意
,则
,
,欲证明
,只需证明
,只需证明
,
即证明,即证
,设
,则只需证明
,也就是证明
,记
,所以
,所以
在
单调递增,所以
,所以原不等式成立.
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【题目】在极坐标系中,圆的极坐标方程为
,若以极点
为原点,极轴所在的直线为
轴建立平面直角坐标系
(1)求圆的参数方程;
(2)在直角坐标系中,点是圆
上的动点,试求
的最大值,并求出此时点
的直角坐标;
(3)已知为参数),曲线
为参数),若版曲线
上各点恒坐标压缩为原来的
倍,纵坐标压缩为原来的
倍,得到曲线
,设点
是曲线
上的一个动点,求它到直线
距离的最小值.
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【题目】某研究型学习小组调查研究”中学生使用智能手机对学习的影响”.部分统计数据如下表:
参考数据:
参考公式: ,其中
(Ⅰ)试根据以上数据,运用独立性检验思想,指出有多大把握认为中学生使用智能手机对学习有影响?
(Ⅱ)研究小组将该样本中使用智能手机且成绩优秀的4位同学记为组,不使用智能手机且成绩优秀的8位同学记为
组,计划从
组推选的2人和
组推选的3人中,随机挑选两人在学校升旗仪式上作“国旗下讲话”分享学习经验.求挑选的两人恰好分别来自
、
两组的概率.
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【题目】下面给出了四个类比推理:
(1)由“若则
”类比推出“若
为三个向量则
”;
(2)“a,b为实数,则a=b=0”类比推出“
为复数,若
”
(3)“在平面内,三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中,四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”
(4)“在平面内,过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中,过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”.
上述四个推理中,结论正确的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【题目】已知椭圆,离心率为
,两焦点分别为
,过
的直线交椭圆
于
两点,且
的周长为8.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作圆
的切线
交椭圆
于
两点,求弦长
的最大值.
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【题目】太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化,相对统一的和谐美,定义:能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆
的一个“太极函数”,则下列有关说法中:
①对于圆的所有非常数函数的太极函数中,一定不能为偶函数;
②函数是圆
的一个太极函数;
③存在圆,使得
是圆
的一个太极函数;
④直线所对应的函数一定是圆
的太极函数;
⑤若函数是圆
的太极函数,则
所有正确的是__________.
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【题目】从某批产品中,有放回地抽取产品两次,每次随机抽取1件,假设事件A:“取出的2件产品中至多有1件是二等品”,其概率P(A)=0.96.
(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p.
(2)若该批产品共100件,从中无放回抽取2件产品,ξ表示取出的2件产品中二等品的件数.求ξ的分布列.
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【题目】现从某学校高一年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于和
之间,将测量结果按如下方式分成6组:第1组
,第2组
,…,第6组
,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)求这50名男生身高的中位数,并估计该校高一全体男生的平均身高;
(2)求这50名男生当中身高不低于176的人数,并且在这50名身高不低于176
的男生中任意抽取2人,求这2人身高都低于180
的概率.
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【题目】2015年7月9日21时15分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆,造成165.17万人受灾, 5.6万人紧急转移安置,288间房屋倒塌,46.5千公顷农田受灾,直接经济损失12.99亿元,距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响,适逢暑假,小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失,将收集的数据分成,
,
,
,
五组,并作出如下频率分布直方图(图1):
(1)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失;
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)小明向班级同学发出倡议,为该小区居民捐款,现从损失超过6000元的居民中随机
抽出2户进行捐款援助,求抽出的2户居民损失均超过8000元的概率;
(3)台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的50户居民捐款情况如下表,
在图2表格空白外填写正确数字,并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额超过或
不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关?
经济损失不超过4000元 | 经济损失超过4000元 | 合计 | |
捐款超过500元 | 30 | ||
捐款不超过500元 | 6 | ||
合计 |
附:临界值参考公式: ,
.
0.15 | 0.10 | 0.05 /td> | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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