Question

【题目】已知圆O：x2+y2=r2（r＞0），点P为圆O上任意一点（不在坐标轴上），过点P作倾斜角互补的两条直线分别交圆O于另一点A，B．
（1）当直线PA的斜率为2时，
①若点A的坐标为（﹣ ，﹣ ），求点P的坐标；
②若点P的横坐标为2，且PA=2PB，求r的值；
（2）当点P在圆O上移动时，求证：直线OP与AB的斜率之积为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①点A的坐标为（﹣ ，﹣ ），代入可得r2=2

直线PA的方程为y+ =2（x+ ），即y=2x﹣1，

代入x2+y2=2，可得5x2﹣4x﹣1=0，∴点P的坐标为（1，1）；

②因为直线PA与直线PB的倾斜角互补且直线PA的斜率为2，所以直线PB的斜率为﹣2．

设点P的坐标为（2，t），则直线PA的方程为：2x﹣y﹣4+t=0，直线PB的方程为：2x+y﹣t﹣4=0．

圆心（0，0）到直线PA，PB的距离分别为d1= ，d2=

因为PA=2PB，所以由垂径定理得：4（r2﹣d12）=16（r2﹣d22）

所以4（ ）2﹣（ ）2=3r2，

又因为点P（2，t）在圆O上，所以22+t2=r2（2），联立（1）（2）解得r= 或

（2）解：由题意知：直线PA，PB的斜率均存在．

设点P的坐标为（x0，y0），直线OP的斜率为kOP=

直线PA的斜率为k，则直线PA的方程为：y﹣y0=k（x﹣x0），

联立直线PA与圆O方程x2+y2=r2，消去y得：

（1+k2）x2+2k（y0﹣kx0）x+（y0﹣kx0）2﹣r2=0，

因为点P在圆O上，即x02+y02=r2，

所以（y0﹣kx0）2﹣r2=（k2﹣1）x02﹣2kx0y0，

由韦达定理得：xA= ，故点A坐标为（ ， ），

用“﹣k“代替“k“得：点B的坐标为（ ， ）

∴kAB= =

∴kABkOP=1．

综上，当点P在圆O上移动时，直线OP与AB的斜率之积为定值1

【解析】（1）①求出r2=2，直线PA的方程，代入x2+y2=2，可得5x2﹣4x﹣1=0，即可求点P的坐标；②若点P的横坐标为2，且PA=2PB，设点P的坐标为（2，t），由垂径定理得：4（r2﹣d12）=16（r2﹣d22），因为点P（2，t）在圆O上，所以22+t2=r2 ， 即可求r的值；（2）当点P在圆O上移动时，求出A，B的坐标，即可证明直线OP与AB的斜率之积为定值．