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    已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC ="∠BAD" =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，且EF∥BC。设AE =，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如图）．

    （1）当=2时，求证：BD⊥EG ；

    （2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；

    （3）当取得最大值时，求二面角D-BF-E的余弦值．

     

    【答案】

    （1）建立空间坐标系E-xyz, B（2，0，0）D（0，2，2）E（0，0，0）G（2，2，0）,

    （－2，2，2）（2，2，0）＝0∴（2）（3）

    【解析】

    试题分析：（1）方法一：

    ∵平面平面，

    AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，

    又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E-xyz．

     

    ，又为BC的中点，BC=4，

    ．则A（0，0，2），B（2，0，0），

    G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），

    （－2，2，2），（2，2，0），

    （－2，2，2）（2，2，0）＝0，

    ∴．……4分

    方法二：

    作DH⊥EF于H，连BH，GH， 由平面平面知：DH⊥平面EBCF，

    而EG平面EBCF，故EG⊥DH．

    为平行四边形，且，四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H，

    故EG⊥平面DBH， 而BD平面DBH，∴ EG⊥BD．………4分

    （或者直接利用三垂线定理得出结果）

    （2）∵AD∥面BFC，所以 =VA-BFC＝

    ，即时有最大值为． ………8分

    （3）设平面DBF的法向量为，∵AE=2， B（2，0，0），

    D（0，2，2），F（0，3，0），∴………9分

    （－2，2，2），

    则 ，即，

    取，∴

    ，面BCF一个法向量为，

    则cos<>=，………14分

    考点：两线垂直的判定及求解二面角大小

    点评：本题用向量方法求解比较简单

     

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    .
    AC
    所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当
    2
    3
    ≤λ≤
    3
    4
    时，求双曲线离心率c的取值范围．

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    （1）当x=2时，求证：BD⊥EG；
    （2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值；
    （3）当f（x）取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网精英家教网已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=
    π2
    ，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，沿EF将梯形ABCD翻折，使AE⊥平面EBCF（如图）．设AE=x，四面体DFBC的体积记为f（x）．
    （1）写出f（x）表达式，并求f（x）的最大值；
    （2）当x=2时，求异面直线AB与DF所成角θ的余弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=
    π2
    ，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x）．
    （1）当x=2时，求证：BD⊥EG；
    （2）求f（x）的最大值；
    （3）当f（x）取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．

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    如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求所得旋转体的表面积及体积．

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