如图，四边形PCBM是直角梯形，
，
∥
，
．又
，
，直线AM与直线PC所成的角为
．
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值.
解析试题分析：方法1：（1）∵
，∴
平面ABC，∴．5分
（2）取BC的中点N，连MN．∵
，∴
，∴
平面ABC．作
，交AC的延长线于H，连结MH．由三垂线定理得
，∴
为二面角的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为，∴在
中，
．
在
中，
．
在中，
．
在
中，
．
在
中，∵
，∴
．
故二面角的余弦值为
．13分
方法2：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分
（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设
，则
．
． 5分
∵
，
且
，∴
，得
，∴
． 8分
设平面MAC的一个法向量为
，则由
得
得
∴
． 10分
平面ABC的一个法向量为
．
12分
显然，二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．13分
考点：二面角的平面角，线线垂直
点评：解决的关键是借助于空间向量法或几何性质法来得到证明和求解，属于基础题。
阅读快车系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，
为圆
的直径，点
、
在圆上，
，矩形
所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）设
的中点为
，求证：
平面
；
（3）设平面将几何体
分成的两个锥体的体积分别为
，
，求
．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图甲，在平面四边形ABCD中，已知
,
,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD
平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（1）求证：DC平面ABC；
（2）求BF与平面ABC所成角的正弦值；
（3）求二面角B－EF－A的余弦值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
是双曲线
上一点，
、
分别是双曲线
的左、右顶点，直线
，
的斜率之积为
.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于
，
两点，
为坐标原点，
为双曲线上一点，满足
，求
的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图所示，已知AC ⊥平面CDE, BD ∥AC , 
为等边三角形，F为ED边上的中点,且
，
（Ⅰ）求证：CF∥面ABE；
（Ⅱ）求证：面ABE ⊥平面BDE；
（Ⅲ）求该几何体ABECD的体积。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
，AF=1，M是线段EF的中点．
（Ⅰ）求证AM//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大小；
（Ⅲ）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，且平面ABCD ⊥平面DCEF，M，N分别为AB，DF的中点。
（1）求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值；
（2）求异面直线ME与BN所成角的余弦值。
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⊥平面
，
,
，
，
，
，
，
是
的中点．
平面
；
；
中，设
是棱
的中点.
；
平面
；
的体积.