Question

已知△ABC，∠C=60°，AC=2，BC=1，点M是△ABC内部或边界上一动点，N是边BC的中点，则的最大值为________．

Answer 1

分析：由题意，得△ABC是以B为直角的直角三角形，因此建立如图直角坐标系，设M（x，y），可得向量和的坐标，从而得到关于x、y的表达式，结合点M在△ABC内部或边界上运动，可得当点M与原点重合时的最大值为．
解答：∵∠C=60°，AC=2，BC=1，
∴AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos60°=3，得AB=
可得△ABC是以B为直角的直角三角形
因此，以C为原点，CB所在直线为x轴建立如图坐标系，
可得C（0，0），B（1，0），A（1，）
∴BC中点N（，0），得=（-，-）
设M（x，y），得=（x-1，y-）
∴=-（x-1）+（-）（y-）=-x-y+
点M在△ABC内部或边界上运动，当点M与原点重合时，-x-y+=，取得最大值
即的最大值为
故答案为：
点评：本题给出直角三角形内的动点，求向量数量的最大值，着重考查了解三角形和平面向量的数量积公式等知识，属于中档题．