Question

4．已知函数f（x）=3^x，f（a+2）=27，函数g（x）=λ•2^ax-4^x的定义域为[0，2]．
（1）求a的值；
（2）若函数g（x）在[0，2]上单调递减，求λ的取值范围；
（3）若函数g（x）的最大值是1，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（a+2）=3^a+2=27，由此能求出a的值．
（2）g（x）=λ•2^x-4^x，由函数g（x）在[0，2]上单调递减，利用定义法能出λ的取值范围．
（3）令2^x=t，t∈[1，4]，g（t）=-t²+λt，对称轴t=$\frac{λ}{2}$，利用分类讨论思想能求出λ的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=3^x，f（a+2）=27，
∴f（a+2）=3^a+2=27，
解得a=1．
（2）由（1）得g（x）=λ•2^x-4^x，
任取0≤x₁＜x₂≤2，
∵函数g（x）在[0，2]上单调递减，
∴g（x₂）-g（x₁）=$λ•{2}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{2}}$-（$λ•{2}^{{x}_{1}}-{4}^{{x}_{1}}$）＜0，
∴$λ＜{2}^{{x}_{2}}+{2}^{{x}_{1}}$，
∴λ≤2．即λ的取值范围是（-∞，2]．
（3）令2^x=t，t∈[1，4]，
g（t）=-t²+λt，对称轴t=$\frac{λ}{2}$，
①当$\frac{λ}{2}≤1$，即λ≤2时，g（t）在[1，4]单调递减，
y_max=g（1）=-1+λ=1，解得λ=2．
②当$\frac{λ}{2}$≥4，即λ≥8时，g（t）在[1，4]单调递增，
y_max=g（4）=-16+4λ=1，解得$λ=\frac{17}{4}$（舍）．
③当4＞$\frac{λ}{2}$＞1时，g（t）在[1，$\frac{λ}{2}$]单调递增，在[$\frac{λ}{2}$，4]单调递减，
${y}_{max}=g（\frac{λ}{2}）=-（\frac{λ}{2}）^{2}+\frac{{λ}^{2}}{2}+1$，
解得λ=±2（舍）．
综上，λ的值为2．

点评 本题考查实数值及实数的取值范围的求法，考查函数性质的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、分类讨论思想，是中档题．