Question

6．已知函数f（x）=2-2cos²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x
（1）求函数f（x）在x∈[0，π]时的增区间；
（2）求函数f（x）的对称轴；
（3）若方程f（x）-k=0在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件化简得到f（x）=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$），求出f（x）的单调递增区间，得出结论．
（2）根据对称轴的定义即可求出．
（3）由题意可得函数f（x）的图象和直线y=k在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上有交点，根据正弦函数的定义域和值域求出f（x）的值域，可得k的范围．

解答 解：（1）f（x）=2-2cos²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
由2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z，
得x∈[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}$+2kπ]，k∈Z，
可得函数f（x）在x∈[0，π]时的增区间为[0，$\frac{5π}{12}$]，[$\frac{11π}{12}$，π]，
（2）由2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴得函数f（x）的对称轴为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
（3）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
即2≤1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤3，
要使方程f（x）-k=0在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上有解，只有k∈[2，3]．

点评 本题主要考查三角函数的化简，正弦函数的图象的对称性、单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．