Question

己知F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF₂|=2且∠F₁AF₂=45°．廷长AF₂交双曲线右支于点B，则△F₁AB及的面积等于    ．

Answer 1

【答案】分析：根据双曲线的定义，得|AF₁|-|AF₂|=2a=2，△AF₁F₂中根据余弦定理算出，从而得到．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由直线AB方程与双曲线方程联解，算出|y₂|=（）y₁，得到△BF₁F₂与△AF₁F₂的面积之比等于，结合△AF₁F₂的面积为=2得到△BF₁F₂的面积等于4-2，再两个三角形的面积相加，即可得到△F₁AB及的面积．
解答：解：如图所示，由双曲线的方程可知：a=1．
∴|AF₁|-|AF₂|=2，
∵|AF₂|=2，∴|AF₁|=4．
∴=（2c）²=4²+2²-2×4×2×cos45°，化为，
∴，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则，化为．
解得，（舍去）．
由此解出A的坐标为（，），
设直线AB方程为x=my+c，与双曲线联解，可得
由根与系数的关系，得到，结合y₁=化简得到|y₂|=（）y₁
∴==
∵双曲线中，△AF₁F₂的面积S===2
∴△BF₁F₂的面积S=（）S=4-2
由此可得△F₁AB及的面积S=S+S=4
故答案为：4
点评：本题给出双曲线的焦点三角形△AF₁F₂的两边之长和夹角，求△F₁AB及的面积．着重考查了双曲线的定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系和三角形的面积公式等知识点，属于中档题．