Question

18．某民营企业家去年为西部山区80名贫困大学生捐奖学金共50万元，该企业家计划从今年起（今年为第一年）10年内每年捐资总金额都比上一年增加10万元，资助的贫困大学生每年净增a人．
（1）当a=10时，在计划时间内，每年的受捐贫困大学生人均获得的奖学金是否超过0.8万元？请说明理由．
 （2）为使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过多少人？

Answer 1

分析 （1）设从今年起的第x年后（今年为第0年后）受捐贫困大学生人均获得的奖学金y万元．在计划时间内，列出受捐贫困大学生人均获得的奖学金，令其大于或等于0.8万元，求出最低年限，即可得出结论．
（2）设0≤x₁＜x₂≤9，利用函数的单调性定义，人均年终奖年年有增长，确定a的范围，然后确定资助的大学生每年净增量不能超过的人数．

解答 解：（1）设从今年起的第x年后（今年为第0年后）受捐贫困大学生人均获得的奖学金为y万元．
则y=$\frac{50+10x}{80+ax}$（x∈N+，0≤x≤9）；（4分）
由题意，有$\frac{50+10x}{80+ax}$＞0.8（a=10），
解得，x＞7．
所以，在计划时间内，第9年起受捐贫困大学生人均获得的奖学金超过0.8万元．
（2）设0≤x₁＜x₂≤9，则f（x₂）-f（x₁）=$\frac{50+10{x}_{1}}{80+a{x}_{1}}$-$\frac{50+10{x}_{2}}{80+a{x}_{2}}$=$\frac{（10×80-50a）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（80+a{x}_{1}）（80+a{x}_{2}）}$＞0，
所以，10×80-50a＞0，得a＜16．
所以，为使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过16人．

点评 本题考查其他不等式的解法，函数单调性的判断与证明，根据实际问题选择函数类型，考查逻辑思维能力，分析问题解决问题的能力，是中档题．