Question

17．已知函数f（x）=2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$
（Ⅰ）y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换得到？
（Ⅱ）若y=f（x+φ）的一个对称中心为（$\frac{π}{3}$，0），求φ的值；
（Ⅲ）设当x=θ时，函数g（x）=f（x）+sinx取得最大值，求cosθ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．
（Ⅲ）设当x=θ时，利用辅助角公式，求得g（x）=f（x）+sinx取得最大值时，cosθ的值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
故把y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，可得y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象，
再把各点的纵坐标变为原来的2倍，可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象．
（Ⅱ）若y=f（x+φ）=2sin（x+φ+$\frac{π}{3}$）的一个对称中心为（$\frac{π}{3}$，0），
则$\frac{π}{3}$+φ+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{3}$．
（Ⅲ）设当x=θ时，函数g（x）=f（x）+sinx=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）+sinθ=2sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=$\sqrt{7}$（$\frac{2}{\sqrt{7}}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$cosθ）
=$\sqrt{7}$sin（θ+arcsin$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$）取得最大为$\sqrt{7}$，此时，sinθ=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，辅助角公式的应用，属于中档题．