Question

8．已知函数f（x）=2e^x-m-x，其中m为实数．
（1）若m≤1，对任意x∈R，记f（x）的最小值为g（m），求g（m）的最小值；
（2）若f（x）在[0，2m]上有两个零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数可得函数f（x）在∈（-∞，m-ln2）递减，在（m-ln2，+∞）递增，f（x）的最小值为g（m）=f（m-ln2）=1+ln2-m，g（m）的最小值g（1）=kn2．
（2）依题意的m＞0．由（1）得函数f（x）在∈（-∞，m-ln2）递减，在（m-ln2，+∞）递增且f（x）的最小值为f（m-ln2）=1+ln2-m．f（x）在[0，2m]上有两个零点，则必须满足：$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{0＜m-ln2＜2m}\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=2{e}^{-m}≥0}\\{f（2m）=2{e}^{m}-2m≥0}\\{f（m-ln2）=1+ln2-m＜0}\end{array}\right.$解得m．

解答 解：（1）f′（x）=2e^x-m-1，令f′（x）=2e^x-m-1=0，得x=m-ln2．
当x∈（-∞，m-ln2）时，f′（x）＜0，当x∈（m-ln2，+∞）时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在∈（-∞，m-ln2）递减，在（m-ln2，+∞）递增，
f（x）的最小值为g（m）=f（m-ln2）=1+ln2-m，
∵m≤1，∴g（m）的最小值g（1）=kn2．
（2）依题意的m＞0．由（1）得函数f（x）在∈（-∞，m-ln2）递减，在（m-ln2，+∞）递增
且f（x）的最小值为f（m-ln2）=1+ln2-m．
f（x）在[0，2m]上有两个零点，则必须满足：$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{0＜m-ln2＜2m}\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=2{e}^{-m}≥0}\\{f（2m）=2{e}^{m}-2m≥0}\\{f（m-ln2）=1+ln2-m＜0}\end{array}\right.$
解得：m＞1+ln2
m的取值范围为（1+ln2，+∞）

点评 本题考查了函数的单调性，最值，及零点问题，属于中档题，