Question

20．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是双曲线C的左顶点，P（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，y_p）在双曲线的一条渐近线上，M为线段F₁P的中点，且F₁P⊥AM，则该双曲线C的渐近线为（　　）

• A． y=±$\sqrt{3}$x
• B． y=±2x
• C． y=±$\sqrt{2}$x
• D． y=±$\sqrt{5}$x

Answer 1

分析 求得双曲线的左顶点A（-a，0），F₁（-c，0），由平面几何知识可得|AP|=|AF₁|，求得P的坐标，运用两点的距离公式，结合a，b，c的关系，化简整理可得c=2a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，即可得到所求双曲线的方程．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点A（-a，0），F₁（-c，0），
M为线段F₁P的中点，且F₁P⊥AM，可得|AP|=|AF₁|，
OP为渐近线方程：y=-$\frac{b}{a}$x，
P（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，y_p）即为P（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
即有$\sqrt{（a-\frac{{a}^{2}}{c}）^{2}+（\frac{ab}{c}）^{2}}$=c-a，
即有a²（c-a）²+a²b²=c²（c-a）²，
（c²-a²）（c-a）²=a²b²，
可得c-a=a，即c=2a，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
即有双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即为y=±$\sqrt{3}$x．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用平面几何性质，考查数形结合和化简整理的运算能力，属于中档题．