Question

3．设A，B是抛物线y=x²上两点，O是坐标原点，若OA⊥OB，则下列结论正确的有①②③④
①|OA|•|OB|≥2；②|OA|+|OB|≥2$\sqrt{2}$；
③直线AB过抛物线y=x²的焦点；④O到直线AB的距离小于或等于1．

Answer 1

分析 设直线AB方程为y=kx+b，将直线AB方程代入抛物线方程y=x²，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，能够证明直线AB过定点，即可判断结论．

解答 解：设直线AB方程为y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线AB方程代入抛物线方程y=x²，
得x²-kx-b=0，
则x₁+x₂=k，x₁x₂=-b，
∵OA⊥OB，∴k_OA•k_OB=-b=-1，b=1．
于是直线AB方程为y=kx+1，该直线过定点（0，1）．故③正确；
O到直线AB的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，即④正确；
当k=0时，|OA||OB|取得最小值2，∴①|OA|•|OB|≥2正确；②由基本不等式，可得|OA|+|OB|≥2$\sqrt{2}$正确．
故答案为①②③④．

点评 本题考查直线过定点的证明，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．