【题目】设D是圆O:x2+y2=16上的任意一点,m是过点D且与x轴垂直的直线,E是直线m与x轴的交点,点Q在直线m上,且满足2|EQ||ED|.当点D在圆O上运动时,记点Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程.
(2)已知点P(2,3),过F(2,0)的直线l交曲线C于A,B两点,交直线x=8于点M.判定直线PA,PM,PB的斜率是否依次构成等差数列?并说明理由.
【答案】(1)1,(2)成等差数列
【解析】
(1)由题意设Q(x,y),D(x0,y0),根据2|EQ||ED|Q在直线m上,则椭圆的方程即可得到;
(2)设出直线l的方程,和椭圆方程联立,利用根与系数的关系得到k1+k3,并求得k2的值,由k1+k3=2k2说明直线PA,PM,PB的斜率成等差数列.
解:(1)设Q(x,y),D(x0,y0),∵2|EQ||ED|,Q在直线m上,
∴x0=x,|y0|=|y|.①
∵点D在圆x2+y2=16上运动,
∴x02+y02=16,
将①式代入②式即得曲线C的方程为x2y2=16,即1,
(2)直线PA,PM,PB的斜率成等差数列,证明如下:
由(1)知椭圆C:3x2+4y2=48,
直线l的方程为y=k(x﹣2),
代入椭圆方程并整理,得(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣48=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA,PM,PB的斜率分别为k1,k2,k3,
则有x1+x2,x1x2,
可知M的坐标为(8,6k).
∴k1+k3
=2k﹣32k﹣32k﹣1,
2k2=22k﹣1.
∴k1+k3=2k2.
故直线PA,PM,PB的斜率成等差数列.
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【题目】《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上两人所得与下三人等。问各得几何?”其意思是:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列。问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)。这个问题中,戊所得为( )
A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱
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【题目】如图,在空间几何体中,平面平面,与都是边长为2的等边三角形,,点在平面上的射影在的平分线上,已知和平面所成角为.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆与的离心率相等.椭圆的右焦点为F,过点F的直线与椭圆交于A,B两点,射线与椭圆交于点C,椭圆的右顶点为D.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若的面积为,求直线的方程;
(3)若,求证:四边形是平行四边形.
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【题目】已知椭圆:的两焦点与短轴的一个端点的连线构成面积为的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线:与椭圆相交于,两点,试问:在轴上是否存在点,使得为等边三角形,若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,平面四边形中,E,F是,中点,,,,将沿对角线折起至,使平面平面,则四面体中,下列结论不正确的是( )
A.平面B.异面直线与所成的角为90°
C.异面直线与所成的角为60°D.直线与平面所成的角为30°
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【题目】如图,正方形的边长为4,点, 分别为, 的中点,将, ,分别沿, 折起,使, 两点重合于点,连接.
(1)求证: 平面;
(2)求与平面所成角的正弦值.
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