Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x．
（Ⅰ）若角α的终边与单位圆交于点P（

3

5

，

4

5

），求f（α）的值；
（Ⅱ）若x∈[

π

6

，

π

3

]，求f（x）最小正周期和值域．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由条件可得sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，代入计算即可得到；
（Ⅱ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简，再由周期公式，即可得到周期；再由x的范围，求得2x+

π

6

的范围，再由正弦函数的性质，即可得到值域．

解答： 解：（Ⅰ）由于角α的终边与单位圆交于点P（

3

5

，

4

5

），则sinα=

4

5

，cosα=

3

5

则f（α）=2

3

sinαcosα-2sin²α=2

3

×

4

5

×

3

5

-2×(

4

5

)²=

24 3 -32

25

；
（Ⅱ）f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x=

3

sin2x+cos2x-1=2sin（2x+

π

6

）-1
所以最小正周期是T=

2π

2

=π；
由于x∈[

π

6

，

π

3

]，即有-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
则有-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
故f（x）的值域为[-2，1]．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查三角函数的周期和最值，考查运算能力，属于中档题．