Question

【题目】已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，，点B在AC上的射影为D，则三棱锥体积的最大值为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

先画出图形（见解析），求出三棱锥的高，由题意得出三棱锥体积最大时面积最大，进而求出的面积表达式，利用函数知识求出面积最大值，从而求出三棱锥体积最大值．

如下图，由题意，，，

取的中点为，则为三角形的外心，且为在平面上的射影，所以球心在的延长线上，设，则，

所以，即，所以.

故，

过作于，设()，则,

设，则，故，

所以，则，

所以的面积，

令，则，

因为，所以当时，，即此时单调递增；当时，，此时单调递减．

所以当时，取到最大值为，即的面积最大值为．

当的面积最大时，三棱锥体积取得最大值为.

故选D.