Question

无论m为任何实数，直线l：y=x+m与双曲线C：

x2

2

-

y2

b2

=1（b＞0）恒有公共点
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围．
（2）若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足

FP

=

1

5

FQ

，求双曲线C的方程．

Answer 1

分析：（1）欲求双曲线C的离心率e的取值范围，只需找到a，c 的齐次不等式，根据直线l：y=x+m与双曲线C：

x2

2

-

y2

b2

=1（b＞0）恒有公共点，联立方程后，方程组必有解，△≥0成立，即可得到含a，c的齐次不等式，离心率e的取值范围可得．
（2）先设直线l的方程，与双曲线方程联立，求出y₁，y₂，代入

FP

=

1

5

FQ

，化简，即可求出b²，代入

x2

2

-

y2

b2

=1即可．

解答：解：（1）联立

y=x+m         (1) x2 2 - y2 b2 =1    (2)

，得b²x²-2（x+m）²-2b²=0
（b²-2）x²-4mx-2（m²+b²）=0
当b²=2时，m=0，直线与双曲线无交点，矛盾
∴b²≠2．∴e≠

2

．
∵直线与双曲线恒有交点，△=16m²+8（b²-2）（m²+b²）≥0恒成立
∴16m²+8（b²-2）m²+8（b²-2）b²≥0
∴b²≥2-m²，∴e≥

2

．e＞

2

．
（2）F（c，0）．L，y=x-c，

y=x-c x2 2 - y2 b2 =1

，（b²-2）y²+2cb²y+b²c²-2b²=0   
∴

y1+y2 = -2cb2 b2-2 y1y2= b2c2-2b2 b2-2

∵

FP

=

1

5

FQ

，∴y1=

1

5

y2，
整理得，

c2b4

9(b2-2)

=

b2c2-2b2

5

∵b²＞0，∴c²-2=b²，

b2+2

9(b2-2)

=

1

5

，∴b²=7
∴双曲线C的方程为

x2

2

-

y2

7

=1

点评：本题考查了双曲线离心率范围的求法，以及直线与双曲线位置关系的判断，属于综合题．