Question

无论m为任何实数，直线l：y=x+m与双曲线C：（b＞0）恒有公共点
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围．
（2）若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足，求双曲线C的方程．

Answer 1

解：（1）联立，得b²x²-2（x+m）²-2b²=0
（b²-2）x²-4mx-2（m²+b²）=0
当b²=2时，m=0，直线与双曲线无交点，矛盾
∴b²≠2．∴e≠．
∵直线与双曲线恒有交点，△=16m²+8（b²-2）（m²+b²）≥0恒成立
∴16m²+8（b²-2）m²+8（b²-2）b²≥0
∴b²≥2-m²，∴e≥．e＞．
（2）F（c，0）．L，y=x-c，
，（b²-2）y²+2cb²y+b²c²-2b²=0
∴
∵，∴，
整理得，=
∵b²＞0，∴c²-2=b²，=，∴b²=7
∴双曲线C的方程为
分析：（1）欲求双曲线C的离心率e的取值范围，只需找到a，c 的齐次不等式，根据直线l：y=x+m与双曲线C：（b＞0）恒有公共点，联立方程后，方程组必有解，△≥0成立，即可得到含a，c的齐次不等式，离心率e的取值范围可得．
（2）先设直线l的方程，与双曲线方程联立，求出y₁，y₂，代入，化简，即可求出b²，代入即可．
点评：本题考查了双曲线离心率范围的求法，以及直线与双曲线位置关系的判断，属于综合题．