Question

设函数，
（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；
（2）证明：对任意的实数t，都有f（t）+f（1-t）=1；
（3）求值：…．

Answer 1

解：（1）证明：设任意x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）==，
∵x₁＜x₂，
∴，∴，
又．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），…（4分）
∴f（x）在R上是增函数 …（6分）
（2）对任意t，f（t）+f（1-t）====1．
∴对于任意t，f（t）+f（1-t）=1 …（10分）
（3）∵由（2）得f（t）+f（1-t）=1
∴，，
∴+=2011，
∴=…（14分）
分析：（1）直接利用用定义，通过f（x₁）-f（x₂）化简表达式，比较出大小即可证明函数f（x）是R上的单调性；
（2）化简f（t）+f（1-t），证明它的值是1即可；
（3）由（2），f（t）+f（1-t）=1，求出首末两项的和为1，利用倒序相加法，求出…．
点评：本题考查函数的单调性的证明，函数值的求法，考查计算能力，值域倒序相加法的应用．