Question

点A是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）短轴位于x轴下方的顶点，过A作斜率为1的直线交椭圆于P点，B点在y轴上且BP∥x轴，且

AB

•

AP

=9．
（1）若B（0，1），求椭圆的方程；
（2）若B（0，t），求t的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）利用两条直线的交点解出点P的坐标，再利用数量积公式，进而求出b的值，得到点P的坐标代入椭圆方程即可．
（2）类比（1）利用向量关系得到t与b的方程及点P的坐标，代入椭圆方程并利用a²＞b²建立不等式，解出即可．

解答： 解：（1）直线AP的方程为y=x-b，联立

y=1 y=x-b

，解得

x=b+1 y=1

，∴P（b+1，1）．
∴

AB

•

AP

=（0，1+b）•（b+1，b+1）=（1+b）²=9（b＞0），解得b=2．
∴P（3，1），代入椭圆的方程为

32

a2

+

1

b2

=1，解得a²=12．
∴椭圆的方程为

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）由

AB

•

AP

=9，∴（0，t+b）•（t+b，t+b）=（t+b）²=9（t＞0，b＞0），∴t+b=3①．
把P（3，t）代入椭圆的方程可得

9

a2

+

t2

b2

=1，化为a2=

9b2

b2-t2

．
∵a²＞b²，∴

9b2

b2-t2

＞b2，∴

9

b2-t2

＞1，②
由①可得b=3-t代入②可得

9

(3-t)2-t2

＞1，化为

9

9-6t

＞1，解得0＜t＜

3

2

．
∴t的取值范围是(0，

3

2

)．

点评：本题考查了直线与直线相交、点与椭圆的位置关系、数量积运算、不等式的解法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．