Question

已知O是锐角△ABC的外心，若

OC

=x

OA

+y

OB

（x，y∈R），则（　　）

• A、x+y≤-2
• B、-2≤x+y＜-1
• C、x+y＜-1
• D、-1＜x+y＜0

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：通过三角形是锐角三角形，判断O在三角形内部，利用外心半径相等，化简已知表达式，利用基本不等式求出结果即可．

解答： 解：∵O是锐角△ABC的外心，
∴O在三角形内部，不妨设锐角△ABC的外接圆的半径为1，
又

OC

=x

OA

+y

OB

，
∴|

OC

|=|x

OA

+y

OB

|，
可得

OC

2=x2

OA

2+y2

OB

2+2xy

OA

•

OB

，
而

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|cos∠A0B＜|

OA

|•|

OB

|=1．
∴1=x2+y2+2xy

OA

•

OB

＜x²+y²+2xy，
∴x+y＜-1或x+y＞1，如果x+y＞1则O在三角形外部，三角形不是锐角三角形，
∴x+y＜-1，
故选：C．

点评：本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积以及基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．