Question

设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求由曲线y=f（x）、直线x=-1、直线x=0以及直线y=0围成的曲边梯形面
（Ⅲ）求由曲线段y=f（x）（0≤x≤1）绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

Answer 1

考点：二次函数的性质,导数的运算,定积分,定积分的简单应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用判别式为0，以及函数的导数，求出a、b、c，即可求f（x）的表达式；
（Ⅱ）直接利用定积分求解由曲线y=f（x）、直线x=-1、直线x=0以及直线y=0围成的曲边梯形面
（Ⅲ）通过定积分求由曲线段y=f（x）（0≤x≤1）绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

解答： （本小题满分9分）
解：（I）设f（x）=ax²+bx+c，
∴f′（x）=2ax+b，
又f′（x）=2x+2，∴a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x+c=0，
又方程f（x）=x²+2x+c=0有两个相等的实根，
∴△=0，解得c=1，
∴f（x）=x²+2x+1…（3分）
（II）设由曲线y=f（x）、直线x=-1、直线x=0及直线y=0围成的曲边梯形面积为S，
则S=

∫

0 -1

(x+)2dx=

1

3

(x+1

)3|

0 -1

=

1

3

…（6分）
（III）设由曲线段y=f（x）（0≤x≤1）绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，
则V=π

∫

1 0

(x+1)4dx=π×

π

5

(x+1)5

|

1 0

=

31π

5

…（9分）．

点评：本题考查二次函数的基本性质以及定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力．