Question

已知曲线C：x2+

y2

a

=1，直线l：kx-y-k=0，O为坐标原点．
（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；
（2）当k=1时，直线l与曲线C相交于两点M，N，若|MN|=

2

，求曲线C的方程；
（3）当a=-1时，直线l与曲线C相交于两点M，N，试问在曲线C上是否存在点Q，使得

OM

+

ON

=λ

OQ

？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分a＜0 时，a=1 时，0＜a＜1 时，a＞1 时这四种情况分别讨论．
（2）把直线l的方程代入曲线C的方程，利用根与系数的关系、弦长公式求出 a 的值．
（3）当a=-1时，曲线C表示焦点在x轴上的等轴双曲线，直线l：kx-y-k=0过曲线C的右顶点（1，0），不妨设为点M，设点N（x₂，y₂），把直线l的方程代入曲线C的方程，由根与系数的关系求得点N坐标及k值，由

OM

+

ON

=λ

OQ

，求得点Q的坐标，从而得出结论．

解答：解：（1）对于曲线C：x2+

y2

a

=1，当a＜0 时，曲线表示焦点在x 轴上的双曲线；
当a=1 时，曲线表示单位圆；   当0＜a＜1 时，曲线表示焦点在x 轴上的椭圆；
当a＞1 时，曲线表示曲线表示焦点在y 轴上的椭圆．
（2）当k=1时，直线l的方程为 y=x-1，代入曲线C：x2+

y2

a

=1得，（a+1）x²-2x+1-a=0，
∴x₁+x₂=

2

a+1

，x₁•x₂=

1-a

a+1

，由弦长公式得  |MN|=

2

=

1+k2

•|x1-x2| 
=

2

•

(x1+x2)2-2x1•x2

=

2

•

( 2 a+1 )2 - 2• 1-a a+1

，∴

2(a2+1) (a+1)2

=1，
∴a=1．
（3）当a=-1时，曲线C：x2+

y2

a

=1 即 C：x²-y²=1，表示焦点在x轴上的等轴双曲线．
直线l：kx-y-k=0过曲线C的右顶点（1，0），不妨设为点M，设点N（x₂，y₂）．
把直线l：kx-y-k=0代入曲线C的方程得 （1-k²）x²+2k² x-k²-1=0，由题意知，1和x₂是此方程的两个根，
△=4k⁴-4（1-k²）（-k²-1）＞0，∴1+x₂=-

2k2

1-k2

，1×x₂=

-k2-1

1-k2

，∴k=0．
∵

OM

+

ON

=λ

OQ

，∴

OQ

 =

1

λ

(

OM

+

ON

)=

1

λ

（ 1+x₂，0+y₂）=

1

λ

（ 0，0）=（0，0）．
∴点Q （0，0），故点Q不在曲线C上，故不存在点Q满足条件．

点评：本题考查方程表示的曲线，弦长公式，两个向量坐标形式的运算，一元二次方程根与系数的关系，求点Q的坐标是解题的难点．