Question

1．已知$tanα=\frac{1}{7}，sinβ=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$分别在下列条件下求α+2β的值：
（1）$α∈（{0，\frac{π}{2}}），β∈（{0，\frac{π}{2}}）$
（2）$α∈（{-π，0}），β∈（{0，\frac{π}{2}}）$．

Answer 1

分析 由条件求得α、β的范围，可得α+2β的范围，再求得tanβ、tan2β、tan（α+2β）的值，从而求得α+2β的值．

解答 解：（1）∵$α∈（{0，\frac{π}{2}}），β∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且$tanα=\frac{1}{7}，sinβ=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，∴α∈（ 0，$\frac{π}{4}$）、β∈（0，$\frac{π}{6}$），
∴α+2β∈（0，$\frac{7π}{12}$），且cosβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∴tanβ=$\frac{1}{3}$，tan（2β）=$\frac{2tanβ}{1{-tan}^{2}β}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan（α+2β）=$\frac{tanα+tan2β}{1-tanα•tan2β}$=$\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}•\frac{3}{4}}$=1，∴α+2β=$\frac{π}{4}$．
（2）∵$α∈（{-π，0}），β∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且$tanα=\frac{1}{7}，sinβ=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，∴α∈（-π，-$\frac{5π}{6}$）、β∈（0，$\frac{π}{6}$），
∴α+2β∈（-π，-$\frac{π}{2}$），且cosβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∴tanβ=$\frac{1}{3}$，tan（2β）=$\frac{2tanβ}{1{-tan}^{2}β}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan（α+2β）=$\frac{tanα+tan2β}{1-tanα•tan2β}$=$\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}•\frac{3}{4}}$=1，∴α+2β=-$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和差的三角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．