Question

已知函数f（x）=（log₄x）²-

5

2

log4x+1．
（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；
（2）若f（x）≥mlog₄x对于x∈[4，16]恒成立，求m有取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用,函数恒成立问题,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令t=log₄x，可得t∈[

1

2

，1]，函数f（x）=g（t）=(t-

5

4

)2-

9

16

，再利用二次函数的性质求得函数的最值，可得函数的值域．
（2）由题意可得x∈[4，16]时，m≤

f(x)

log4x

=

t2- 5t 2 +1

t

=t-

5

2

+

1

t

，t∈[1，2]．利用基本不等式可得 t+

1

t

-

5

2

的最小值，可得 m的范围．

解答： 解：（1）令t=log₄x，∵x∈[2，4]，∴log₄x∈[

1

2

，1]．
函数f（x）=g（t）=t²-

5

2

t+1=(t-

5

4

)2-

9

16

，故当 t=

5

4

时，函数g（t）取得最小值为-

9

16

，
当t=

1

2

时，函数g（t）取得最大值为 0，故函数f（x）的值域为[-

9

16

，0]．
（2）∵f（x）≥mlog₄x对于x∈[4，16]恒成立，log₄x∈[1，2]，
故有 x∈[4，16]时，m≤

f(x)

log4x

 恒成立．
结合（1）可得，m≤

t2- 5t 2 +1

t

=t-

5

2

+

1

t

，t∈[1，2]．
利用基本不等式可得 t+

1

t

-

5

2

≥2-

5

2

=-

1

2

，当且仅当t=1时，取等号，
即t+

1

t

-

5

2

的最小值为-

1

2

，∴m≤-

1

2

．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，对数函数的定义域和值域，属于中档题．