Question

20．已知平面直角坐标系内三点A，B，C在一条直线上，满足$\overrightarrow{OA}$=（-2，m），$\overrightarrow{OB}$=（n，1），$\overrightarrow{OC}$=（5，-1），且$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，其中O为坐标原点．
（1）求实数m，n的值；
（2）设△OAC的垂心为G，且$\overrightarrow{OB}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{OG}$，试求∠AOC的大小．

Answer 1

分析 （1）利用已知向量的坐标结合向量加减法的坐标运算求得$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$的坐标，结合三点A，B，C在一条直线上可得$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{AB}$，进一步得到一个关于m，n的方程，再由$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$得关于m，n的另一方程，联立方程组求得m值；
（2）由题意可得使$\overrightarrow{OB}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{OG}$的向量$\overrightarrow{OA}$的坐标，然后利用数量积求夹角公式求得∠AOC的大小．

解答 解：（1）由A，B，C三点共线，可得$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{AB}$，
∵$\overrightarrow{OA}$=（-2，m），$\overrightarrow{OB}$=（n，1），$\overrightarrow{OC}$=（5，-1），
∴$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=（7，-1-m），$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=（n+2，1-m）$，
∴7（1-m）=（-1-m）（n+2），①
又∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即-2n+m=0，②
联立①②解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{n=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；
（2）∵G为△OAC的重心，且$\overrightarrow{OB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OG}$，
∴B为AC的中点，故m=3，n=$\frac{3}{2}$．
∴$\overrightarrow{OA}=（-2，3），\overrightarrow{OC}=（5，-1）$，
∴$cos∠AOC=\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OC}|}=\frac{-13}{\sqrt{13}•\sqrt{26}}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
且∠AOC∈（0，π），∴$∠AOC=\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线和垂直的坐标表示，训练了利用数量积求向量的夹角，是中档题．