Question

10．函数f（x）对一切实数x、y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）在（0，4）上存在实数x₀，使得f（x₀）+6=ax₀成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对一切实数x，y∈R都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且题中已经给出了f（1）=0，要求的值是f（0），所以，令x=1，y=0即可求f（0）；
（2）在（1）中已经求出了f（0）的值，只需在给出的等式中取y=0即可求 f（x）的解析式，（0，4）上存在实数x₀，使得f（x₀）+6=ax₀成立，分离参数，求出参数的取值范围即可．

解答 解：（1）因为函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立．且f（1），所以令x=1，y=0，
代入上式得f（1）-f（0）=2，
所以f（0）=-2．
（2）因为函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，所以令y=0，代入上式得
f（x）-f（0）=x（x+1），又由（1）知f（0）=-2，
所以f（x）=x（x+1）-2，
因为f（x₀）+6=ax₀成立，
即x₀（x₀+1）-2+6=ax₀在（0，4）上成立，
所以a=x₀+1+$\frac{4}{{x}_{0}}$≥2$\sqrt{{x}_{0}\frac{4}{{x}_{0}}}$+1=5，当且仅当x₀=2时取等号，
所以a≥5．

点评 本题考查抽象函数及其应用，解决抽象函数的问题一般应用赋值法．关键是结合已知条件和要求的结论对变量恰当赋值．