Question

19．定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+3同时满足以下条件：
①f（x）在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，0）上是减函数；
②f（x）的导函数是偶函；
③f（x）在x=0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直．
求函数y=f（x）的解析式．

Answer 1

分析 由函数的三个性质可得abc的方程组，解方程组可得．

解答 解：求导数可得f′（x）=3ax²+2bx+c，
由①可得f′（-1）=3a-2b+c=0，
由②可得b=0，
由③可得f′（0）=c=-1，
联立解得a=$\frac{1}{3}$，b=0，c=-1，
∴函数y=f（x）的解析式为f（x）=$\frac{1}{3}$x³-cx+3

点评 本题考查待定系数法求函数解析式，属基础题．